已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．

（1）求b，c满足的关系式；

（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；

（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．

答案

【解答】解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，

得﹣2b+c＝0，

∴c＝2b；

（2）m＝﹣，n＝，

∴n＝，

∴n＝2b﹣m2，

（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，

对称轴x＝﹣，

当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；

此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，

∴最大值与最小值之差为25；（舍去）

当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，

∴0≤b≤8，

∴﹣4≤x＝﹣≤0，

当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，

当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，

当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b；

函数的最大值与最小值之差为16，

当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，

∴b＝6或b＝﹣10，

∵4≤b≤8，

∴b＝6；

当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，

∴b＝2或b＝18，

∵2≤b≤4，

∴b＝2；

综上所述b＝2或b＝6；

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象，数形结合解题是关键．